Fourier分析:Fourier级数 + Fourier变换
傅里叶分析
傅立叶分析
的作用是把 一个函数 分解为 许多三角函数的和 的形式。
这些三角函数的频率都是某个基频的整数倍。如果这个基频无限趋近于0,那么在极限的情况下这函数的频率就连续了,将连续 时域 函数映射到连续的 频域 函数的变换就是标准的傅立叶变换
。
由于工程采集的信号大多都是离散的,把时域离散化以后不可能在得到连续的频域函数,所以在频域上也不连续了,这种离散时域序列到离散频域序列的变换称之为离散傅立叶变换(DFT)
。
Fourier分析
的主要内容:Fourier级数 + Fourier变换 两个方面。
傅里叶级数
下面是傅里叶级数
最基本的形式👇
L²(0, 2π)
表示在实数集 R 上以 2π 为周期且在 (0, 2π) 上 平方可积函数 的全体。
L¹(0, 2π)
表示在实数集 R 上以 2π 为周期且在 (0, 2π) 上 绝对可积函数 的全体。
在L²(0, 2π)
中定义内积为
如果 <f, g> = 0, 则 f, g 是正交的。(可过滤)
令 g => e^ikt
, 函数集{e^ikt}(k∈Z)
是L²(0, 2π)
的标准正交基,使L²(0, 2π)
中的任意 函数 都能展成Fourier级数
。
通过
泰勒展开公式
可得,sin(wt) + cos(wt) = e^iwt)
傅里叶变换
设 f(t) 是定义在 R 上的函数,f(t) 的 Fourier 变换定义为👇
Fourier变换
能够较好地刻画信号的 频率(ω) 特性,但不能提供信号在时频(t)上的任何 局部信息。以上面定义可见,Fourier变换
使用信号在时域中的全部信息。但许多情况下,我们感兴趣的信号往往是局部的,然后使用Fourier变换
,信号的 时域信息 相当于丢失了,很难知道时间发生的确切时间。
而小波变换
解决了Fourier变换
的这些不足。