傅里叶分析

傅立叶分析的作用是把 一个函数 分解为 许多三角函数的和 的形式。

这些三角函数的频率都是某个基频的整数倍。如果这个基频无限趋近于0,那么在极限的情况下这函数的频率就连续了,将连续 时域 函数映射到连续的 频域 函数的变换就是标准的傅立叶变换

时域与频域

由于工程采集的信号大多都是离散的,把时域离散化以后不可能在得到连续的频域函数,所以在频域上也不连续了,这种离散时域序列到离散频域序列的变换称之为离散傅立叶变换(DFT)

Fourier分析的主要内容:Fourier级数 + Fourier变换 两个方面。

傅里叶级数

下面是傅里叶级数最基本的形式👇

傅里叶级数(最基本形式)

L²(0, 2π)表示在实数集 R 上以 为周期且在 (0, 2π)平方可积函数 的全体。

L¹(0, 2π)表示在实数集 R 上以 为周期且在 (0, 2π)绝对可积函数 的全体。

L²(0, 2π)中定义内积为

在L²(0, 2π)中的内积

如果 <f, g> = 0, 则 f, g 是正交的。(可过滤)

g => e^ikt, 函数集{e^ikt}(k∈Z)L²(0, 2π)的标准正交基,使L²(0, 2π)中的任意 函数 都能展成Fourier级数

通过泰勒展开公式可得,sin(wt) + cos(wt) = e^iwt

傅里叶变换

f(t) 是定义在 R 上的函数,f(t)Fourier 变换定义为👇

傅里叶变换定义

Fourier变换能够较好地刻画信号的 频率(ω) 特性,但不能提供信号在时频(t)上的任何 局部信息。以上面定义可见,Fourier变换使用信号在时域中的全部信息。但许多情况下,我们感兴趣的信号往往是局部的,然后使用Fourier变换,信号的 时域信息 相当于丢失了,很难知道时间发生的确切时间。

小波变换解决了Fourier变换的这些不足。